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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 2 - Sucesiones y límites

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4. Decida cuáles de las siguientes sucesiones son monótonas crecientes, monótonas decrecientes y cuáles de ellas no tienen ninguna propiedad de monotonía.
III) cn=3nn!c_{n}=\frac{3^{n}}{n !}

Respuesta

Apa, en este caso ya no es tan obvio como antes. Pero mirá, planteemos por ejemplo que:

cn+1≤cnc_{n+1} \leq c_n

3n+1(n+1)!≤ 3nn!\frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \leq \frac{3^n}{n!}

Despejemos y veamos si esta relación se cumple a partir de algún nn. Primero nos va a convenir reescribir algunas cosas, usando reglas de potencias:

3n+1=3n⋅33^{n+1} = 3^n \cdot 3

y teniendo en cuenta la definición de factorial, fijate que:

(n+1)!=n!⋅(n+1)(n+1)! = n! \cdot (n+1)

Reemplazamos en nuestra inecuación estas expresiones:

3n⋅3(n+1)n!≤ 3nn!\frac{3^{n} \cdot 3}{(n+1)n!} \leq \frac{3^n}{n!}

3n⋅33n≤n!(n+1)n!\frac{3^n \cdot 3}{3^n} \leq \frac{n! (n+1)}{n!}

Simplificamos

3≤n+13 \leq n + 1

2≤n2 \leq n

Es decir, nosotros planteamos que cn+1≤cnc_{n+1} \leq c_n, despejamos y obtuvimos que esta relación se cumple para todo nn natural mayor o igual a 22. Perfecto, esto nos confirma que nuestra sucesión es monótona decreciente. 
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